時間を気にしなければ、安定して山手線に乗り続ける方が、
主要駅での乗降が多いなら座ることができます。
乗換の際にホームにある階段の昇り降りもなく、移動も楽ちんです。
場合によっては接続があるかどうか、スマホ等で見たり駅の案内を見るなど疲れてしまいます。

急ぎの場合、昼間ならば京浜東北線に快速がある時間帯なのでそちらがおススメです。
先に田端駅で京浜東北線(快速)に乗り、品川駅ではなく、
田町駅か浜松町駅で乗換をする方が同じホーム内で隣の大崎方面に向かう山手線へ、
スムーズに移動できます。品川駅に比べて大幅に乗換のタイムロスが減ります。

それ以外の時間帯で急ぎならば、
田端駅から池袋・新宿方面の山手線に乗り、池袋駅で階段を経由して１・2番線ホームに向かい、
湘南新宿ラインか埼京線のどちらかに乗換えると良いです。
どちらも大崎駅まで行ってくれる他、本数も7～8分に1本程度で必ず山手線を1本は追い越します。
湘南新宿ラインと埼京線は同じホームなので、来た電車に乗り込むだけで大丈夫な為、
乗り間違いの心配がありません。但し、埼京線は半分新宿止まりがある点に注意してください。

尚、上野東京ライン利用の場合は2回乗換えを伴う為、おススメしません。
また上野駅・品川駅とも乗換の移動距離が長く結構歩かされます。
たまに東京駅で2～3分止まる電車もあり、
更に乗換の待ち時間次第では結局同じ山手線に――　なんてケースもあります。
東京経由ルートは京浜東北線が快速でなければ、大崎駅に向かう場合控えた方が良いでしょう。

山手線の内回りと外回りで比べたら、外回りのほうが若干早く着きますね。

このような乗り方をする人はほとんどいないと思いますが、

田端→日暮里（山手線）
日暮里→品川（常磐線からの上野東京ライン）
品川→大崎（山手線）

というのも楽しめるかと思います。
常磐線からの上野東京ラインで、E531系のボックスシートに座れればちょっとした旅気分。品川では駅ナカに寄ってもいいでしょう。

短時間乗車が狙いならであれば、田端→（京浜東北線快速）→田町→（山手線）→大崎で乗車時間最短２５分です。

京浜東北線→山手線乗り換えは、品川より田町が便利（同一ホーム）

山手線内回りで池袋に出て埼京線か湘南新宿ラインに乗り換えればいいのでしょうけれど、隣のホーム（湘南新宿ラインはさらに隣）のホームに行かなくてはなりませんので、ちょっと面倒です。
ですので、池袋で乗り換えずにそのまま山手線に乗っていきます。

とりあえず、上野東京ラインは候補から外します。
上野まで行ってからの乗り換え、品川でまた乗り換え、東京駅での停車も長い（2分程度）事がありますので、京浜東北快速で品川まで行くので十分ですね。（この距離でグリーン車利用はないだろうと仮定しています）
湘南新宿ラインでしたら、池袋だけの乗り換えですので、UTラインよりはマシかと思います。ダイヤ次第では埼京線になるかも知れませんが（時間が許せば赤羽回りの埼京線コースもアリ？）

混雑具合にもよりますが、乗り換えの時間と手間を考えると、
本命・山手線、対抗・京浜東北快速品川乗り換え、かと思います。

田端で山手線の電車に座れたら、そのまま大崎に行ってしまうと思います。
山手線は、内回りではなく外回りで。高輪ゲートウェイができたら、田町→品川の走る線路が変わってしまいますので。