羽田ー成田空港は、通しの一枚の切符で買えるはずです。
（空港ー空港間で乗り継ぎ割り引きが設定されています）

券売機（不安であれば有人窓口で）で購入できるはずですが、
成田までのルートが、スカイアクセス経由と、京成本線経由がありますので、それだけは事前に確認が必要です。
（スカイライナー利用なら、自動的にスカイアクセスとなります・・・けど青砥は通過だったかも）

乗り換えは、「改札を出なければ」必ずしも青砥駅でなくても構いません。
（青砥駅は分岐駅でもあり、ほぼ全ての列車が停まるため最もわかり易いですが）

直通便があればそれに乗るも良し、京急・都営浅草線・京成（北総線・スカイアクセス）の任意のどこかで乗り換えるも良し。

とりあえず、切符は一枚で行けますので、ルートや乗り継ぎについては窓口でお訊ねになるのが一番だと思います。

・ルートが複数ある。
・切符は一枚で買えるが、経由ルートで金額が異なる。
というのは、冗談自動車道さんからあった通りです。

京急の羽田空港から成田空港へ、一番速い列車は「エアポート快特 成田空港行き(押上からアクセス特急)」で、40分ごとに走ってます。所要時間100分ちょい。不慣れでらっしゃるならば、待ってでもコレが良いです。

なぜなら、待てない場合や乗り遅れた場合、多種多様な行先・種別の列車を乗り継いで向かうことになるからです。

そこでオススメするのは、ルートが分岐する(京成)高砂までの切符を買い、成田空港に着いたときに精算する方法です。

①とりあえず、京急の券売機で品川経由、浅草線・京成線方面の(京成)高砂まで切符を買う。

②ホームに降りて時刻表をチェック。エア快の成田空港行きを待てそうなら、それに乗る。→⑤へ。

③待てない場合は、とにかく品川方面の列車で青砥に向かう。(急行などの種類は気にしないでOK。ただし、横浜方面へは行かないように‥‥)

③青砥では降りたホームも、その向かい側も成田空港方面です。ここでも、とにかく速そうな列車に乗ります。成田空港直通でなくても、乗り継いで向かうことができます。

④高砂(青砥の次です)を過ぎてから、乗ってる列車の経由を確認する。
「アクセス線(北総線)」「京成本線」のどちらか。

ご参考まで。
⑤成田空港に着いたら、改札付近で精算します。もし経由を問われたら、④で確認したルートを申告し、不足分を支払う。