国鉄・JRの〇〇駅に対して私鉄の〇〇市駅が特に西日本に多いイメージですね。国鉄は元々市街地の外れに駅が置かれているのに対して、私鉄の市駅は市街地にあることが多いのではないでしょうか。南海電鉄堺駅・堺東駅に対して元私鉄のJR阪和線が堺市駅というパターンもありますが。市の合併については、いろいろなケースがありそうです。一畑電車の平田市駅は出雲市との合併の際に雲州平田駅になりましたが、近鉄伊賀線（現・伊賀鉄道）の上野市駅は伊賀市となった今での上野市駅を名乗っています。

龍ヶ崎市駅は、佐貫から出ている関東鉄道龍ヶ崎線の終点がまさに「龍ヶ崎駅」であるため、佐貫駅を市の代表駅にしようとすると、区別のため「市駅」にせざるを得なかったのではないでしょうか。
「JR龍ヶ崎」「龍ヶ崎口」なども候補にはあったかも知れませんね。

ちなみに合併後の例としては、いわき市の平駅がいわき駅に改称するのに20年以上掛かったのではなかったかと思います。同じくひたちなか市の勝田駅も未だ改称されていません。おまけでJR京都線の向日町駅も、市制施行後も改称されていません。
現実的なメリット・デメリットと、愛着度などの住民感情によって決まるのではないでしようか。

「大和高田、高田、高田市」「本川越、川越、川越市」あたりがややこしてですね。
地名でなく、自治体名を駅名とすると確かにややこしいことになりそうです。

西武鉄道では

豊岡町駅→入間市駅
入間川駅→狭山市駅
青梅橋駅→東大和市駅

と「○○市駅」に駅名を変更した例があります。でも、さすがに保谷市と田無市の合併で西東京市が誕生した時は、保谷、田無とも駅名は変更しませんでしたね。

京阪の枚方市駅も隣の枚方公園駅の影響を受けるなど、龍ケ崎市駅と似た経緯のようです（wikipedia調べ）。実際下車した際も一通りの都市銀行が駅前に集結していたり、再開発でT-SITEが出来てからなのか老若男女で賑わいがあり、街の中心を担っている感じがしました。

名鉄三河線の刈谷市は、JRの刈谷駅が田園地帯にできた為、当時の三河鉄道が城下町側に駅を作くり刈谷町で開業、その後刈谷町が刈谷市になった為刈谷市に改名