幼かったころ、父が出張帰りによく100系や300系の公衆電話から自宅に電話をかけてました。
（直帰でごはんいるとか、会社に寄るからいらないとか…お土産あるぞ〜！とか? これといって鉄道好きな父ではなかったのですが、新幹線には特別感があったようです）今ではスマホ故障時の保険ですかね〜。

新幹線は使ったことはありませんが、今から40年ほど前に青函連絡船から公衆電話をかけたことがあります
受付窓口で申し込んでからしばらく待たされての通話でした(受付で用紙を書いたかどうかの記憶は定かではありませんが)
船舶無線を経由しての通話で、1分足らずで2、300円くらいかかったかと記憶しています
携帯全盛の今から思えば隔世の感がありますな

自分も新幹線の公衆電話は使ったことがありません。
そもそもテレホンカードも持っていませんので…。

新幹線車内から110番などの緊急通報をする場合は、自分の携帯電話からするよりも車内の公衆電話からのほうが位置が伝わりやすいと聞いたことがあります。
自分が乗っている列車や現在の走行地点を正確に言える人は少ないし、通報者の携帯のGPS情報を警察が取れるとは言っても高速移動する列車のその時点の位置から列車を特定するのも大変。
でも列車備え付けの公衆電話なら、警察には公衆電話の番号がわかるのでそれを元に鉄道会社と連携すれば列車を特定でき、いまどこを走っているかもわかるというわけです。
まあ直接通報せずに車掌に言うほうが緊急停車の判断をしたり初動対応をとるのに一番いいのですが。

JR在来線でも特急列車などに公衆電話が設置されましたが、次第に撤去されてしまいましたね。結局、在来線でも新幹線でも使うことなく現在に至っています。

自分も使ったことがありません。
新幹線ではないですが、住宅・都市整備公団の9100型電車「C-Flyer」が登場した時、カード式の公衆電話があったのには驚きました。こちらも使ったことはありませんでした。