本当です。
列車案内上の「山手線電車」と、路線としての「山手線」とは少々違う物となっています。

正式な路線としては
東京〜品川間が東海道本線の一部、
東京〜田端間が東北本線の一部、
品川〜田端間が山手線となります。
ちなみに中央本線は、代々木〜新宿間で途切れている扱いになっているようです。

山手線電車は、東海道本線と東北本線に乗り入れる事によって環状運転を実現しています。
「東海道本線・山手線・東北本線経由 環状運転電車」なんて、聞き取りにくいし読みにくいですから、
便宜上「山手線」と案内されているのです。

さらにオマケで、初期の山手線は品川〜赤羽でした。
貨物輸送か何かの都合（常磐線からの石炭だったかな？）だったと思いますが、のちに池袋から田端までの短絡線が敷設され、
山手線は品川〜田端に、池袋〜赤羽は赤羽線となりました。

現在の埼京線は、「埼京線」という路線は存在せず、「山手線〜赤羽線〜東北本線（支線）〜川越線」の線路上を「埼京線」として案内されている列車が走っているだけなのです。

「JR時刻表」の該当ページを見てみるとわかるかと思いますが本当です。

品川駅～渋谷駅～新宿駅～池袋駅～田端駅間の北を上にした地図でちょうどアルファベットのCのような区間が山手線です。
じゃ残りの田端駅～秋葉原駅～東京駅～浜松町駅～品川駅間は何かという話になりますが田端駅~秋葉原駅～東京駅間は東北本線・東京駅~浜松町駅~品川駅間は東海道本線になります。

ついでながら話すと正式路線名での表記にしてしまうと京浜東北線は大宮駅～東京駅間が東北本線・東京駅～横浜駅間が東海道本線になってしまいます（横浜駅～磯子駅～根岸駅間は正式線名で根岸線と呼ばれることもあるので割愛しました）し、埼京線に至っては大崎駅～池袋駅が山手線・池袋駅～赤羽駅間が赤羽線・赤羽駅～武蔵浦和駅～大宮駅間が東北本線の「名無し支線」になってしまいます。

はい本当です
ご承知のように、日本最初の営業鉄道は明治5年に官設鉄道の新橋～横浜間が開通しました
その後、明治16年に私鉄の日本鉄道が上野～熊谷間で開業、明治18年には官設鉄道との連絡のために赤羽～品川間に支線である日本鉄道山手線を開業させました　「山手線」という路線名はこのときに誕生しました
明治38年に田端～池袋、大正3年には中央停車場(東京駅)が開業し、最後に東京～秋葉原間が大正14年に開業して(上野～秋葉原は明治23年開通の貨物線)環状運転が可能になりました
現在の正式路線名は先の回答者様たちのとおりです
ちなみに赤羽～池袋間は昭和47年に山手線から分離、赤羽線となりました

蛇足ながら、東京～上野間の路線が誕生する以前は「中野～新宿～東京～品川～新宿～上野」の経路での「のの字」運転の時代がありました