旅行に行く日付でも値段が変わって来るのでコレが一番安いとは言えませんので候補を幾つか載せておきます。安くて移動が短時間なのはLCCの成田発福岡行と思いますが、成田まで行く手間と時間が難点になります。安くて移動時間との釣り合いがとれていそうなのは、高速バスで大体9000円±何千円振れ幅くらいです。
羽田発福岡行のJALやANAだと1万円±何千円振れ幅くらいですかね。
新幹線だと2万円くらいなのでほぼ論外ですかね。
在来線を18きっぷ使用だと一日あたり交通費3000円弱で一番安いですが、途中に宿泊を挟まないとハードな旅になりますし、宿泊費も含めると確実に高額になりそうです。（同じ理由で徒歩と自転車を除外しました）
高速道路を使用して車で行った場合は、高速料金のみで15,000円から20,000円くらいなので新幹線とほとんど変わらないくらいになりそうです。
一般道使用だと、ガソリン代と宿泊料金はかかりますね。〈一応書きましたが、この行き方だと長距離運転になるので途中にかなりの数の休憩を挟まないと危険です。