普通に博多から「のぞみ」で新大阪に行き、新大阪から特急「サンダーバード」を利用すればいいと思います。乗換は1回で済みますし。

少しでも安く行くのであれば、博多から新大阪まで新幹線「みずほ」の自由席で行き、新大阪からは新快速敦賀行きに乗車。敦賀で普通列車に乗り継ぐ方法がいいと思います。

自分は飛行機に乗りたいので、博多から地下鉄で福岡空港に行き、福岡空港から飛行機で関西空港に行きます。関西空港からは特急「はるか」、新大阪乗換で特急「サンダーバード」を使って武生に向かうルートにすると思います。

「のぞみ」で京都まで行き、京都から特急「サンダーバード」に乗る方法もあります。
新大阪で乗り換えるよりかは、少し高くなってしまいますが…。

「のぞみ」で新大阪へ。米原停車の「ひかり」か「こだま」に乗り換えて、米原から特急「しらさぎ」で行くというのも、ありかもしれません。