月に1から2回ほど土日中心に先着順でしたら会津鉄道が行っていると思います。
ただ、調べてみたら年内は、埋まっているようです。

電車ではないですが、関東鉄道では気動車の体験運転を開催しています。
初級編、中級編、特別編があり、初級編は中学生以上が対象（申し込み多数の場合は抽選）、中級編は初級を2回以上体験した人（先着順受付）、特別編は親子を対象としたものです。
初級編と中級編は月1回開催。特別編は不特定の開催となっています。

島根県の一畑電車では、毎週金・土・日と祝日にデハニ50形の体験運転を実施しています。
「1日コース」「夕方コース」「マスターコース」が設定されていて、「夕方コース」は金・土のみの開催です。また、「マスターコース」は、参加2回目以上の方が対象で講習が免除となっています。

https://www.ichibata.co.jp/railway/dehanidream/

こちらも電車ではありませんが、北海道の三笠鉄道村では蒸気機関車運転体験を主に土・日・祝に実施しています。でも、今年の体験運転は終了してしまいました。

http://www.s-304.com/main/club/

小坂鉄道レールパークでは、ディーゼル機関車の運転体験を春から秋まで実施しています（電車ではありません）。
「お試しコース」は簡単な説明を受けて運転実技をするもので、運転体験証明書は発行されませんが、お手軽かと思います。

http://kosaka-rp.com/publics/index/11/

北海道の「ふるさと銀河線りくべつ鉄道」でも気動車の体験運転を行っています。
ただし年内は10月で終了となります。