小田急の「江の島・鎌倉フリーパス」を使って、藤沢までは小田急、藤沢からは江ノ電で行く方法もあります。

そこに目を付けたか甥っ子さん！　ロマンスカーとセットで喜ばれるんじゃないでしょうか。

時間に余裕があるのでしたら、湘南新宿ラインの逗子行きで鎌倉駅に出て、鎌倉駅から江ノ電で江ノ島駅に向かうのもよいかと思います。
腰越駅から江ノ島駅にかけては併用軌道となりますので、道路上を走るシーンも楽しめます。

新宿から小田急線で行くと思います。特急ロマンスカー「えのしま号」を使えば、片瀬江ノ島駅まで快適に行けますし、土休日の快速急行は片瀬江ノ島行きが多いです。

江の島だけ行くのであれば、「江の島1dayパスポート」の利用をお勧めします。藤沢までの往復乗車券＋藤沢～片瀬江ノ島が乗り降り自由で、江の島エスカーや江の島展望台などが1日何回でも利用できます。
新宿からは大人1970円、子ども990円です。もちろん、特急ロマンスカーを利用する際は特急料金が別に必要となります。

自分が行くとしたら、新宿から湘南新宿ラインで大船に出て、大船から湘南モノレールで行くルートでしょうか。

JR大船駅で「鎌倉・江ノ島パス」（大人700円、小児350円）を購入すれば、湘南モノレールや江ノ電、大船～藤沢間と大船～鎌倉間のJRが利用できますので、エスカーだけでなくいろいろな電車に乗ることができます。