東海道新幹線の「のぞみ」でしたら、後続の「のぞみ」の自由席が利用できますが、「はやぶさ」は全車指定席ですね。
自分もどういたらいいか、気になります。

「はやぶさ」に乗り遅れた場合、後続の「はやぶさ」を立席で利用することができるそうです。
でも、新青森まで立席はキツいですね。

最寄駅がどこかはわかりませんが、「はやぶさ1号」の発車時刻前であれば、乗車変更する方法があります。みどりの窓口が開いていなくても、指定席券売機なら乗車変更ができます。
ただし、『￥***』と値段の表示がない指定席券は変更できません。

「はやぶさ」に乗り遅れた場合、次の「はやぶさ」に立席で乗車ができますが、空席がある場合は車掌に申し出ると指定券を販売してくれるそうです。
その場合、持っている指定券は自由席特急券扱いになるようですので、指定席料金との差額で発券してくれるらしいです。