車検切れの車をそのまま保管する場合は、公道を走ることがないので、車検も保険に入ることも必要ありません。そのため、車検を受けるのに必要な、国税の「自動車重量税」は支払わなくてもよいです。

ただし、自動車を所有している場合は、地方税の「自動車税」がかかり、車の使用を中止する一時抹消登録手続きをとらなければ、自動車税は毎年支払わなくてはなりません。

しかし「自動車税課税保留制度」というのがあり、都道府県によっては、車検切れの車に対して自動的に自動車税の納税義務の対象から外されることがあります。あくまでも保留ですので、車検を通す場合には、それまで保留されていた分の自動車税をまとめて支払わなくてはいけません。

自分のところでも、車検が切れたら納税通知書は来なくなりました。そのままで大丈夫かと思います。