別途発生する空港までの時間と費用、LCCに付き物の数々の条件(制約)さえクリアできれば新潟-関空は約1時間、最安6000円程度で移動できます。ご自分の旅行の計画とよく照らし合わせてみて下さい。

陸路であれば、
　大阪まで北陸新幹線と在来線特急、
　大阪から先は高速バス
というのが時間と費用のバランスが良さそうですね。もちろん費用最優先であれば全行程高速バスでも(柏崎-大阪で会社により8〜11時間)。
ただ、
　大阪(や天王寺)などから特急くろしお利用で南紀エリアのレンタカーがセットになったお得なきっぷがあったり(利用不可の期間あり)、
　長距離往復割引の適用になる可能性もありますので
こちらもご予定次第ではJRを選択してもよろしいでしょう。

大阪の代わりに名古屋経由もありますが、特急南紀に興味があるとか紀伊半島一周のルートを取るのでない限り、個人的にはあまりオススメしません。

いずれにしても、柏崎から大阪(または名古屋)までと、その先とに分断されるルートになってしまいますので、個人でチケットを調達するよりも旅行会社の旅行商品の中に掘り出し物があるかも知れません。