もともとの機動は、機会をとらえて即応する、という意味ですね。
機という字はもともと織機である「機（はた）」の意味で、からくり仕掛けの意味は機械の「械」の字が持っている意味です。
トヨタ自動車やスズキ自動車の前身が自動織機メーカーであることからもわかるように、機は機械仕掛けの代表的なものですので、そこから機の字もからくり仕掛けの意味を持つようになったと思われます。
「機動」という言葉が「機械で動く」という意味を持つようになったのはおそらく機動戦士ガンダムのヒット以降かと思います。

「機」の方には、機械の意味するところのような「からくり・仕掛け」の他に、
「機会」や「機を見る」などのように、何らかのきっかけやタイミングの意味を持っています。

この事から、「機動」には「必要な場合・時期」あるいは「タイムリー」に「行動」「運用」する、といった意味合いだと考えられますし、ニュアンスとしても そう遠くはないと思います。

ぶりの煮付けさんの紹介されている機動改札も、抜き打ち（機）で行う（動）車内改札と言うことだろうと思います。

私も疑問なんですよね・・・。
もっとワケがわからないのは“機動改札”。
多分JR西日本の造語じゃないかなと思うんですが、結局ナニが言いたかったのか・・・。