茨城県つくば市にある「さくら交通公園」は、入館（入園？）料は無料ですが、自転車や三輪車などの乗り物は有料です（それでも1時間50円とか100円、高くても300円です）。でも園内にはD51形蒸気機関車や旧国鉄ハイウェイバス「ドリーム号」が展示されていますので、一度行かれてみてはいかがでしょうか？　駐車場は無料ですが、収容台数は25台とやや少なめです。

広さは何とも言えませんが、埼玉県の秩父市聖地公園内にある児童交通公園はいかがでしょうか？
自転車、三輪車、ゴーカートがあり、無料で利用できます。踏切や信号機もありますし、ブランコなどの遊具もあります。そばには駐車場もあったかと思います。
ちなみに児童交通公園の近くには、秩父鉄道の旧秩父駅駅舎が保存されています。

駐車場は有料となってしまいますが、神奈川県の県立辻堂海浜公園の交通公園もいいかと思います。
幼児と一緒に乗れるファミリー自転車や小学生用のゴーカートもあります（いずれも無料）。あと有料になってしまいますが、「スカイサイクル」という乗りものもあります。
公園内には廃車となった小田急2600形電車の先頭車も保存されていて、車内も見学することができます。

千葉市美浜区の「花見川緑地公園」も無料で自転車や足踏み式ゴーカートを利用することができます。ただし、対象は満4歳以上12歳以下の子どもです。専用駐車場（無料）もあります。