鉄道でしたら、名古屋～京都は新幹線、京都～城崎温泉は山陰本線の特急「きのさき」で行けますよ。

バス好きな自分は、名古屋からは名神ハイウェイバス大阪線で大阪駅JR高速バスターミナルへ。
大阪（阪急三番街）まで歩いて移動して、全但バスの城崎－大阪線で城崎温泉駅という、バス乗り継ぎルートを選びます。

大阪（阪急三番街）を16時20分と18時20分に出発する全但バスは4列シートですが、座席幅が広く、コンセントが付いている「ラグリア」車両が使用されています。
普通なら新幹線～在来線特急でしょうけど…。

名古屋から新幹線で新大阪へ。新大阪からは特急「こうのとり」で城崎温泉というルートもあります。

飛行機好きならちょっと遠回り。

中部国際空港を朝8時45分発JTA045便で那覇空港11時05分着。
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那覇空港12時05分発のJAL2084便で伊丹空港14時00着。
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伊丹空港17時00発のJAC2323便でコウノトリ但馬空港17時35分着。
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コウノトリ但馬空港17時55分発の全但バスで城崎温泉18時34分着
というルート。
名古屋（中部）→札幌（新千歳）→大阪（伊丹）→但馬もいいかも。

ただ、お金がかかるし、リスクも高いのでご注意。