武蔵野線の西船橋から大宮行きの「しもうさ号」が1日3本運転されています。

・平日
7時21分　16時02分　19時35分（始発）

・土休日
6時28分　16時12分　19時20分（始発）

この時刻にあわせて船橋駅から総武線各駅停車で西船橋に移動すれば、意外と楽かもしれません。

多くの方が回答されていますように、総武快速線で東京に出て、上野東京ラインに乗り換えるのがいいかと思います。

ちょっと乗り換えが面倒ですが、船橋から総武線各駅停車で秋葉原に出て、京浜東北線か山手線で上野、上野から上野東京ラインという方法も。サイコロさんの回答と同様、上野では始発の列車を狙えばよいかと思います。

上野駅でちょっと乗り換えに時間がかかるかもしれませんが、京成船橋から特急で京成上野に出て、上野から上野東京ラインで大宮に行く方法もあります。
タイミングがよければ上野始発の列車にしたいですね。

ちょっと時間に余裕があるのでしたら、船橋から東武野田線（アーバンパークライン）で大宮に向うのはいかがでしょうか？　野田線の全線乗車ができます。
ただし、日中のほとんどが柏で乗り換えとなりますが。

船橋から総武快速線で東京に出て、東京から新幹線の自由席で大宮に行くパターンもありかと思います。
Suicaなどの交通系ICカードを事前に利用開始登録して「タッチでGo!新幹線」を利用すれば、船橋から大宮まで1990円（きっぷ運賃＋自由席特急券）のところが、1928円とちょっとお安くなります。

船橋から総武快速線で東京に出て、上野東京ラインで大宮に向かうのが分かりやすいかと思います。
子牛力ビーフさんが回答されていますように、東京駅での乗り換えがちょっと面倒ですけど。

普通であれば船橋-秋葉原-大宮ですが、秋葉原からの京浜東北線が南浦和止りが結構あるので、それを回避するルートで船橋-西船橋-南浦和-大宮がありますね、西船橋-南浦和は武蔵野線経由で時間はかかり乗り換えもふえますが、秋葉原での混雑と南浦和止り回避ではないかと。南浦和から乗る京浜東北線は大宮行きばかりですから、南浦和で降り損ねても次の武蔵浦和で埼京線に乗り換えができますし。埼京線も大宮止りと川越行きがあるので･･･

オーソドックスなのは、総武線快速で東京に行き、上野東京ラインで大宮へ。
ただし東京駅での乗り換えが遠いので、フリー系の切符を持っていれば品川駅まで行って乗り換えた方が楽かも知れません。

同案のバリエーションとして、錦糸町〜秋葉原〜上野を、総武線各停〜山手線・京浜東北線にすると言う手もあります。
こちらであれば乗り換えの回数は増えますが、１回ごとの乗り換え距離は短くなり、品川乗り換えのような経路の重複も発生しません。


時間は掛かりますが、東武野田線で柏経由と言うのも・・・
今は分かりませんが、以前は柏駅でスイッチバックする大宮直通列車も有りましたので。

最安ルート。船橋でも京成本線「京成船橋」から上野行き乗車。「日暮里」にてＪＲ京浜東北線大宮行きに乗り換え。運賃760円(IC758円)になります。