現役の奈良運輸区103系が、現在２編成のようです。
編成番号：103系 NS407編成(215-216)、103系 NS409編成(225-226）
http://www.railway-enjoy.net/pictures/jr/103/yamatoji/index.html

運用はtwitter「#奈良線運用」などでリアルタイムに写真付きで投稿されている方などが信憑性があり、参考になるかと思います。上記の方のサイトで205系と一緒になった運用表（　http://www.railway-enjoy.net/unyo/nara103_a.html ）が公開されていますが、twitter情報と合わせて103系の運用時間を絞ることが可能かと思います。

奈良支所の103系電車も2編成しか残っていないんですね。

https://ameblo.jp/kenichi-0801/entry-12410114895.html が役立つと思います。

撮影や乗車をされるのなら、早めの方がよさそうですね。