安く行くなら伊丹空港からがオススメですね。
伊丹からだとバスに乗ってOCATへ向かい、JR難波駅から鉄道線を使います(所要時間41分、760円)。
関西空港からだと南海電鉄で空港急行に乗ってすぐ着きます(41分、920円)。
ちなみに伊丹空港からモノレールを使っていくと、伊丹空港→(大阪モノレール)→蛍池→(阪急)→JR難波→(関西本線)→新今宮もあり。所要時間48分、600円で行けます。
　ただ関西空港は世界初の人工島につくられた海上空港です。羽を広げたような細長く美しいターミナルビルを持ち、多くの飲食店や土産物屋もあります。また約4kmほどある空港橋を渡るのも関西空港の醍醐味でしょう。楽しさを考えるなら関西空港がオススメですね。また泉佐野〜関西空港は特急ラピートに100円で乗車できますよ！

関西空港に出て、南海の空港急行で向かうのが楽かもしれません。

子牛力ビーフさんが回答されていますが、伊丹空港のほうが便数が多くて便利かと思います。
伊丹空港からなんば駅前行きのリムジンバスに乗車して、JR難波駅もしくは南海なんば駅で降りれば、一駅で新今宮駅に到着します。

伊丹の方がフライトが15分短く、
便数も1.5倍以上ありますので、
時間的には有利かと思います。
（着空港〜新今宮の所要時間には大差ありません）

飛んでいる機種は分かりませんが、
気になるようでしたら調べてみて、それも参考にしても良いのではないかと思います。

自分でしたら関西空港に出て、関西空港駅から南海の特急「ラピート」で新今宮駅まで出るかと思います。伊丹空港からですと、どうしても途中で乗り換えが必要となりますので。