素直に、東海道線で茅ヶ崎乗り換え、相模線で橋本へですね。
相模線では他線では見られない「205系500番台」乗車に興味がわきます。

ちょっと遠回りな感じになりますが、日中時間帯であれば東海道本線で横浜に出て、横浜から横浜線の快速で向かうと思います。
タイミングが悪くて横浜線の快速に乗れなかった場合は、20分後の快速まで待つかもしれませんけど。

自分もＯＭ２さんと同じく、茅ケ崎駅から相模線で向かうと思います。
4両編成の電車で単線の相模線に乗るのは、ちょっと旅行気分を味わえるかもしれません。
座れなかったら辛いですけど。

時間に余裕があるのであれば、平塚から湘南新宿ラインで新宿に出て、新宿から京王で橋本に向かうのもいいかもしれません。新宿では買い物や食事などを楽しむのもいいでしょう。

バスだけで平塚から橋本まで行くこともできます。

平塚駅から神奈川中央交通の本厚木駅南口行バスに乗って本厚木駅。
本厚木駅から同じく神奈川中央交通の宮ケ瀬行バスで宮ケ瀬へ。
ここから歩いて虹の大橋を渡って鳥居原ふれあいの館へ向かい、鳥居原ふれあいの館から橋本駅北口行の神奈川中央交通のバスに乗車するコースです。

ただし、本厚木駅から宮ケ瀬行のバスは1時間に1本、鳥居原ふれあいの館から橋本駅北口行のバスは1時間に1本または2時間に1本と、本数が極端に少ないです。
また、宮ケ瀬バス停から鳥居原ふれあいの館バス停までは約2.5kmの距離があります。

仮に土休日で移動する場合、

平塚駅北口 8:25→（急行バス）→本厚木駅南口 8:55
本厚木駅 9:40→宮ケ瀬10:32
［徒歩移動］
鳥居原ふれあいの館12:00→橋本駅北口12:47

といった行程が考えられますが、時間がかかるほか、長時間の徒歩移動がありますので、ハイキング感覚で行かれる場合のみお勧めします。