私は2度ムーンライトながらに乗車したことがあります。
どちらも185系化の後の乗車です。
車内ではラフな姿で過ごせるようにトラベルグッズを用意したほうが良いですね〜
あるとないとで翌朝からがかなり違います。
例えば…
・アイマスク (深夜帯の減灯はありません…)
・耳栓 (走行音が気になるようなら必須です)
・折りたたみスリッパ (簡易的なもの)
・ネックピロー
・軽食 　等々です。
少しでも快適に過ごすためにはあったほうがいいと思います。
寝台ではなく座席なので、ぐっすりとまでは行かないかもしれませんが対策をすればそれなりには休めるはずです。(個人差もあるかもしれませんが…)
恐らく常に冷房が効いていると思うので、薄めの上着やタオルが一枚あるといいかもしれません。
どれも薄く畳めるような簡易的なものをオススメします！
あとはカバンの中身や容量次第でしょうか。乗り継ぎですが、大垣駅での接続は8分程度ありますし、接続の列車も現在は8両編成のことが多いですので"絶対にこの座席がいい"なんてことがなければ座れる可能性は高いかなと思います。
朝食や休憩を挟むのであれば、一本後でも差し支えないと思います。
少しでも参考になれば幸いです。
是非楽しい旅行をどうぞ！

かつての「大垣夜行」は165系でボックスシートでしたが、今の「ムーンライトながら」は185系でリクライニングシートですので、多少は楽なのかもしれません。かつて「大垣夜行」には乗りましたが、「ムーンライトながら」には乗っていませんので状況がわからないのです。

185系の走行音が気になるのであれば耳栓をすればいいかと思いますが、せっかくですので走行音を楽しむのもありかと思います。

5時45分に大垣到着後、5時53分発となる米原行きの列車の座席を求めて多くの人が一斉に移動します（通称：大垣ダッシュ）。大阪まで行くのに急がなければ、その次の6時20分発の米原行きにしたほうが無難でしょう。どちらにしても、米原でまた乗り換えになりますので。

質問の文面からは「ムーンライトながらの指定券」はまだ購入されていないように読みました。
購入されていれば、以下の事柄は無意味ですので無視して下さい。

「ＪＲサイバーステーション」や「えきねっと」で「ムーンライトながら」の予約状況を見ると、今日現在の発売されている8月1日から16日までは、すべて満席状態のようです。
もし指定券を確保されていないのであれば、そちらをどうするかの方が心配です。
世の中にはいろいろな人が、いろいろな手段でチケットを売っているようですが「トラブル」にならないよう気をつけて下さい。
ＪＲの窓口ですと、明日17日の朝10時が8月17日分の勝負になりますね。

使用している車両が結構老朽化して来ているので、味わいはあると思いますが、快眠は期待しない方が宜しいかと。
ただ鉄道ならではの振動は人を眠りに誘いますので、全く眠れないという事もないと思いますが、そこは人それぞれですし、初ムーンライトに興奮して眠れない事もあり得ます。（経験者は語る）

夜行バスと違って、車内の照明は消灯しないので（減光はするかも知れませんが）、アイマスクはあった方が良いでしょう。
耳栓も有るなら有るに越したことはないですね。
季節柄それほど寒い事も無いと思いますが、人によっては薄手の毛布やタオルケットなどの掛ける物も用意した方が良いかも知れません。他の荷物と相談の上で。