後続（当日内と思われます）の特急、普通車の自由席には乗れるそうです。
新たに指定席を利用するには買い直す必要があるそうです。
（指定席券だけではダメみたいですね・・・）
ひたち・あずさ系統の場合、未指定券扱いになるかは、駅で一応確認した方が良さそうです。

乗り遅れの理由によっては扱いが変わる場合があります。
通常であれば乗り継げるはずで、先乗りの列車が大幅に遅れた場合などは、後発の指定席が利用できる場合があります。
故障･事故で
「指定席特急券」は基本的には後続の自由席を利用できます。
ただしJR東日本の全席指定席列車の場合は、列車によって扱いが違います。
立席が利用できる場合、空席があれば着席できる場合等いろいろです。
詳細は下記アドレスのサイト〈指定の列車の乗り遅れ〉をご覧下さい。なおIR各社共通のルールです。

https://www.jreast.co.jp/kippu/21.html

列車が遅れたことにより、乗換駅で指定の列車に接続できなかった場合、駅の係員に申し出ると、後続の列車の同一種類・同一区間の指定席に変更してくれます。
ただし、遅れた列車が他社線の場合は難しいと思います。