新潟を通過しないでならば小松 武生 敦賀 米原 大垣 東海道 東北本線経由でなんとか着きます

経路等については他の方の回答のとおりですが、

> 第三セクターは、途中下車しなければ青春18きっぷを使う事が出来る？なら、
コメントのここについでですが、
第三セクターに18きっぷで乗れるのは、特定の区間（金沢-津幡、高岡-富山）について、途中下車せず、他の区間を利用せずに「JR線へ」通過利用する際の特例です。三セクの区間外を乗車した場合は、全乗車区間の運賃が必要です。

北陸本線か七尾線と、城端線か氷見線か高山線を利用し、津幡と高岡・富山の乗り換えない方でも下車する場合のみ適用できます。

ただし、実際は津幡・高岡・富山でそれぞれ一旦下車すれば、バレづらいとは思います。
ですが、全て有人駅だと思いますので検札を受けた切符を所持していなければ不審に思われるかもしれません。

下車せずに乗り通す場合は津幡-高岡と富山-直江津の切符を持っていても、乗り通している事がバレた場合は不正乗車として、所持しているきっぷを無効にされた上で、全区間の3倍運賃を請求される可能性もあります。
（よほど悪質と思われなければ、切符を持たない区間の運賃を精算するだけだとは思いますが）

まとめると三セク経由でいくならば
基本的には金沢-直江津の切符が必要
津幡-高岡と富山-直江津の切符だけでも可能だか、寄り道する必要がある
となります。

高速バスを利用ありにするのであれば以下のようなルートも可能かと
小松 06:37発
金沢 07:11着
金沢 07:50発 高速バス万代シティＢＣ行 （要予約）
新潟駅前12:27着

ここから下は「郡山に行ける最終電車」ということで
新潟17:08発　新津行
新津17:28着→ 17:37発　会津若松行
会津若松20:07着→ 20:12発　快速　郡山行
郡山 21:21着

会津若松からであればこの後に21:01が最終の郡山行になります。
新潟行の高速バスは上記のものと夕方に1本の2本しかない模様。

電車のみでならば
小松07:06発に乗れば当日中の郡山到着は可能。
途中、金沢・富山・泊・市振・直江津・長岡・新潟・新津・会津若松で乗り換え。
ただし津幡〜高岡と富山〜直江津の乗車券が必要。
（新潟駅に寄るという前提で。新潟駅寄らない場合は新津乗り換えで。）
この場合の新潟駅到着は15:56
新潟駅滞在の場合1時間ちょっとしかありませんが。
新潟から先は上記の高速バスのルートと同じです

青春18きっぷ、と書かれているので、
基本的にJR（普通列車）のみでの移動を考えると、実際には１日で郡山まで着くのは不可能です。

出発当日中に郡山到着を目指す場合、
旧北陸本線の第三セクター、または北陸新幹線を利用する必要があります。
三セク利用なら直江津から信越本線で、新幹線なら飯山駅から飯山線経由で、それぞれ新津駅を目指します。
新津駅から郡山までは磐越西線を利用します。
もし新潟駅周辺に用事があるのなら、滞在時間次第では新幹線を使わないと時間的に厳しいかも知れません。

三セク利用の場合、金沢〜津幡と高岡〜富山間はそれぞれ途中下車なしの通過利用に限り普通・快速にそのまま乗れますので、
津幡〜高岡と富山〜直江津のみ別途乗車券を買えば済みます。
新幹線利用の場合は糸魚川、上越妙高の各駅から直江津まで、えちごトキめき鉄道を利用するルートも有ります。

続いて郡山には翌日到着で良い場合、
敦賀、米原経由で東海道本線へ、
東京または新宿を経由し、高崎線、上越線で水上までは当日中に到達可能です。
温泉宿（または高崎や大宮辺りのビジネスホテル）で一泊後、再び上越線、信越本線を利用して、新津からは先程と同様になります。
ただしこちらも敦賀〜近江塩津間で足止めを食らうようになっていますので、一部区間では特急利用で時間を稼いだ方が良いと思います。