埼玉県の大宮と福岡の天神を結んでいた「Lions Express（ライオンズエクスプレス）」がありましたが、2015年5月で運行を休止してしまったようです。

「キング・オブ・深夜バス」とも言われている、新宿～博多の西鉄バス「はかた号」かな？

週末にでかけるのでしたら、金・土発で新宿西口23時15分発→扇沢駅朝5時32分着のアルピコ交通の夜行高速バスがあります。早朝に扇沢駅に到着しますので、一日を有効に使うことができます。
なお、「新宿西口」は「バスタ新宿」ではありませんので注意が必要です。また、2018年は11月3日（土・祝）が最終運行日となります。

長野駅から扇沢駅まで直通バスがあるので、北陸新幹線経由はどうでしょう？

普通に東京～（中央線）～新宿～（スーパーあずさ）～信濃大町～（バス）～扇沢でいいんじゃないでしょうか？

自分は使ったことはないのですが、Inkscape（インクスケープ）というのがあるようですね。

新幹線なら、自由席を選ぶだけで指定席券が不要なので、安くなります。1ヶ月～1週間等の事前予約でも安くなります。指定席のみかも？（エクスプレス予約ウェブサイト「expy.jp」）。
近鉄の名阪特急なら、運賃2360円+特急料金1900円＝4260円で、2時間10分～30分の乗車時間です。難波から新大阪までは地下鉄御堂筋線に乗り運賃280円、15分くらい。合計4540円になります。
新幹線・近鉄線とも、安売りチケット店を利用する手もあります。
高速バスの手もありますが、梅田や難波行で新大阪へは行きません。2000円前後で3時間くらいです。高速バス専用のサイトで調べて下さい。なお、梅田から新大阪へはJR160円4分、地下鉄御堂筋線230円7分です。

青春18きっぷで東海道本線を往復、はいかがでしょうか。1回分の値段は2370円です。

新宿で銭湯、記憶にないかもしれません。ひだまりの湯萩の湯（鶯谷）と燕湯（上野）だったら、たしか朝6時からやっていたと思うんですけど、、、新宿からはちょっと遠いですよね。この2つなら、いわゆる銭湯の金額、460円で入れます。

南新宿駅のすぐそばに銭湯があったのですが、無くなったそうで………

ネットカフェなら、シャワーが使えるのではないでしょうか？

サウナとかならありそう。

京急の5:34横浜発の快特に乗れば1本で行けますよ！5:54着です。
↓参考
https://www.jorudan.co.jp/norikae/cgi/nori.cgi?eki1=%E6%A8%AA%E6%B5%9C&eki2=%E7%BE%BD%E7%94%B0%E7%A9%BA%E6%B8%AF%E5%9B%BD%E5%86%85%E7%B7%9A%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%9F%E3%83%8A%E3%83%AB&eki3=&via_on=1&Dym=201809&Ddd=21&Dhh=6&Dmn1=0&Dmn2=0&Cway=1&Czu=2&C7=1&C2=0&C3=0&C1=0&C4=0&C6=2&S=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&Cmap1=&rf=nr&pg=0&eok1=R-&eok2=R-&eok3=&Csg=1&type=t&Cid=0&Cfp=1

赤羽からりんかい線直通の埼京線で国際展示場下車もあるけど、朝は混雑で厳しいですね。

出発ロビーにファミマがありますよ！　人は多いですがめちゃ混みってわけでもないです。